Una vaca está atada con una cuerda a una estaca, que está clavada en el borde de un campo de hierba de forma circular, que tiene un metro de radio. ¿Cuál ha de ser la longitud de la cuerda para que sólo se pueda comer la mitad de la hierba?

SOLUCIÓN:

Situemos el campo de hierba como si fuera el círculo de centro el origen y radio 1, y pensemos que la vaca está atada con la estaca en el punto de coordenadas (0,1). Por lo tanto, hemos de calcular el radio R del círculo centrado en el punto (0,1) de manera que el área de la intersección con el círculo unidad sea la mitad de éste, es decir π/2. Un simple cálculo nos demuestra que R ha de estar comprendido entre 1 y la raíz cuadrada de 2,(1 < R < 1,41421). Calcularemos el área señalada, como la integral de la diferencia de las circunferencias que la delimitan. Los límites de integración se determinan a partir de los puntos de intersección de estas curvas (A y B):

 

Así, la fórmula para calcular el área es:

que por simetría es igual a:

Usando los métodos de integración conocidos para este tipo de funciones, se obtiene finalmente:

Recordemos que queremos encontrar el valor de R para el que Área=π/2. Para hacernos una idea de cómo es esta función, dibujamos a continuación la gráfica de la diferencia Área-π/2, dependiendo de R, para localizar dónde se anula:

Observamos que el cero se localiza cerca del valor 1,15, y que la gráfica es casi lineal. Sin embargo al representar la gráfica de la derivada, vemos que no es una recta (pues no es constante):

Finalmente, recurrimos al algoritmo de Newton con punto inicial igual a 1, y obtenemos la siguiente aproximación del radio:

R=1,158728473018121517828233509933509149688292266492096511820695

Si quieres ver otra solución más geométrica, puedes echarle un vistazo a la encontrada por los alumnos Álex García y Eduard Fugarolas: El problema de la vaca.