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Análisis Armónico

TEMARIO

Tema I: El sistema trigonométrico

  1. Series ortogonales. Coeficientes asociados a un sistema ortogonal.
  2. El sistema trigonométrico. Definición y propiedades elementales.
  3. Completitud. Unicidad de los coeficientes de Fourier.
  4. Desigualdad de Bessel y fórmula de Parseval.
  5. Operaciones formales de la serie de Fourier. Diferenciación e integración.
  6. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier. Teorema de Riemann-Lebesgue. Funciones Lipschitz.

Tema II: Convergencia de la serie de Fourier

  1. Fórmulas para las sumas parciales. Núcleo de Dirichlet. Sumas parciales modificadas. Operadores de convolución. Representación integral.
  2. Algunos criterios de convergencia. El test de Dini. Principio de localización. Funciones de variación acotada. Criterio de Dirichlet-Jordan. Fenómeno de Gibbs. Criterio de Dini-Lipschitz. Criterio de Lebesgue.
  3. Constantes de Lebesgue.

Tema III: Métodos de sumabilidad

  1. Métodos de sumabilidad. Medias aritméticas de Cesàro de orden k. Sumabilidad Abel. Núcleos de sumabilidad. Teorema de Fejér. Teorema de aproximación de Weierstrass. Núcleo de Poisson. Extensión armónica.
  2. Convergencia en norma.
  3. Convergencia en casi todo punto.

Tema IV: Transformada de Fourier

  1. Teoría básica en L1 (Rn). Definición. Teorema de Riemann-Lebesgue. Propiedades relacionadas con la traslación, dilatación, convolución y diferenciación. Ejemplos: núcleos de Poisson y Gauss-Weierstrass.
  2. Problema de inversión. Aproximaciones de la identidad y métodos de sumabilidad. Igualdad de Parseval. Fórmula de inversión.
  3. Teoría en L2 (Rn). Definición. Extensión unitaria. Definición para los espacios Lp (Rn), 1 < p < 2.

BIBLIOGRAFÍA

  • E. Hewitt y K.A.Ross, Abstract Harmonic Analysis, Springer Verlag, 1963.
  • Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, 1976.
  • W. Rudin, Análisis Real y Complejo, McGraw-Hill/Interamericana de España, 1988.
  • I.N. Sneddon, Fourier series, Dover, 1961.
  • E.M. Stein y G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.
  • A. Torchinsky, Real-Variable Methods in Harmonic Analysis, Academic Press, 1986.
  • J.S. Walker, Fourier Analysis, Oxford University Press, 1988.
  • G. Weiss, Harmonic Analysis, M.A.A. Studies in Math. 3 (1965), 124-178.
  • A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge University Press, Volúmenes I, II, 1959.

EXÁMENES (Versión PDF)

Año Convocatoria
1996 Primera
1999 Primera Segunda
2000 Primera Segunda
2001 Primera
2002 Primera Segunda

Trabajo del alumno Pau Rabassa: Anàlisi de Fourier i Aplicacions

Trabajo del alumno Víctor Ortiz: Anàlisi Harmònica