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Matemáticas Avanzadas

Master's Programme. Academic Year 2024/2025.

ÁLGEBRA CONMUTATIVA - 606176

Curso Académico 2024-25

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
CG1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
CG2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CG3 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG4 - Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
Transversales
Relacionadas con CT2, CT4, CT5
buscar soluciones a problemas en artículos o libros. colaboración en equipo. Ser capaces de trasmitir ideas a otros equipos de trabajo, comunicación oral o escrita.
Específicas
CE1 - Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.
CE2 - Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE3 - Planificar la resolución de un problema en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE4 - Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
CE6 - Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.
CE7 - Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Explicaciones participativas.
Clases prácticas
Ejercicios
Presentaciones
Presentaciones de temas y ejercicios en grupos de trabajo

Semestre

2

Breve descriptor:

Se  introduce  al alumno en el Álgebra Conmutativa, principalmente dando protagonismo al lenguaje geométrico y categórico, es decir facilitándoles

en lo psoible una   ulterior incorporación a un curso de Geometría Algebraica y/o Esquemas en el Master.

En sí mismo este curso es de gran interés, ya que introduce  los tres resultados fundamentales del

Álgebra  Conmutativa: Los teoremas de Noether  sobre descomposición primaria y los tres teoremas de Hilbert (Base, Ceros y Sizigias).

Requisitos

Es conveniente que el estudiante haya aprobado Estructuras Algebraicas, Ecuaciones Algebraicas.

Objetivos

Introducción, con interpretación geométrica, de las nociones básicas de Álgebra Conmutativa, como es la teoría de anillos, ideales  y módulos noetherianos.

Contenido


1 Introducción a la teoría de anillos.  Ideales. Ideales finitamente generados  Anillos de polinomios. Teorema de la Base.

2 Módulos. Producto tensorial de módulos y álgebras.

3. Lenguaje categórico . Categorías, Funtores. Exactitud. Módulos proyectivos, inyectivos, planos.

4.  Anillos de fracciones y localización. Lema de Nakayama.

5. Dependencia entera. Lema de normalización de Noether.

6. Teorema de los ceros de Hilbert. Geometría del espectro de un anillo.

7. Anillos y Módulos noetherianos . Descomposición primaria de ideales y módulos.

8. Anillos y Módulos artinianos.

9. Anillos graduados. Polinomio de Hilbert.

10.Teorema de la dimensión para anillos locales noetherianos. aplicaciones geométricas.

Evaluación

Hay dos métodos de evaluación continua. En el primero (deseable) hay asistencia asidua a clase y realización de ejercicios en grupos de trabajo con exposiciones (20%) Exposiciones al final de temas de teoría en esos grupos a modo de "examen oral" (80%). En el segundo , para los alumnos que no pueden asistir asiduamente a clase por algún motivo; se califica 100% un examen final con ejercicios y preguntas teóricas.
En la convocatoria extraordinaria sólo tien ligar el segundo

Bibliografía

Bibliografía básica recomendada:
- M. Reid, "Undergraduate Commutative Algebra", London Math. Soc., Student Texts 29, 1995.
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra", Addison-Wesley Publishing Co. 1969.
- E. Arrondo, "Ageometric introduction to Commutative Algebra", UCM 2006.

Bibliografía complementaria recomendada:
- D. Cox, J. Little, D. O. "Shea, ¿Ideals, Varieties and Algorithms", Springer 1992.
-D. Eisenbud: Introduction to commutative algebra: with a view to algebraic geometry. GTM. Springer.Verlag 3rd. edition (revised) 1999
E. Kunz, "Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry", Birkhäuser 1985.
- H. Matsumura, "Commutative Ring Theory", Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
- J. S. Milne, "A primer of Commutative Algebra", http://www.jmilne.org/math/
. -Henri Lombardi, Claude Quitté: "Commutative Algebra:Constructive Methods". Springer-Verlag 2015.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único20/01/2025 - 09/05/2025LUNES 11:00 - 12:00B07MARIA EMILIA ALONSO GARCIA
MARTES 12:00 - 13:00B07MARIA EMILIA ALONSO GARCIA


Clases prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único20/01/2025 - 09/05/2025MARTES 11:00 - 12:00B07MARIA EMILIA ALONSO GARCIA
MIÉRCOLES 12:00 - 13:00B07MARIA EMILIA ALONSO GARCIA