Saber distinguir propiedades globales y locales de un grupo de Lie. Obtener información estructural a partir de las propiedades de una representación lineal. Determinar los invariantes principales de los grupos de Lie.

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Se trata de un curso introductorio a la teoría de grupos de Lie y la clasificación de grupos de Lie conexos y compactos, así como a la teoría de representaciones lineales de álgebras de Lie simples complejas. El enfoque elegido es fundamentalmente geométrico, en el que se hará un uso extenso del formalismo de formas diferenciales de E. Cartan.   

Topología general. Variedades diferenciables, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales ordinarias. Es conveniente tener nociones de mecánica analítica.

Distribuciones en variedades. Teorema de Fröbenius. Grupos de matrices. Análisis de los grupos de Lie clásicos. Relación con las álgebras de Lie complejas y reales. Introducción a la teoría de representaciones lineales.

1. Distribuciones en variedades diferenciables. Distribuciones involutivas e integrabilidad. Teorema de Fröbenius. Variedades integrales. 2. Grupos de Lie de transformaciones lineales. Construcción de los grupos clásicos. Intersección de grupos. Subgrupos de Lie cerrados e inmersos. Grupos de Lie conexos y compactos. 3. Algebra de Lie de un grupo de Lie. Algebras de Lie matriciales. Propiedades. Tensor de estructura. Forma de Killing. Grupos resolubles y nilpotentes. 4. Subálgebras e ideales. Teorema de Ado. La aplicación exponencial. Teoremas de Lie. Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. 5. Clasificación de grupos de Lie conexos y compactos. Algebras de Lie semisimples. Caracterización. Subálgebras de Cartan. Descomposición de Weyl. Algebras de Lie simples. 6. Problema de clasificación. Sistemas de raíces. Matriz de Cartan y diagrama de Dynkin. Grupo de Weyl. 7. Representaciones de su(2). Sistemas de pesos. Representaciones fundamentales de álgebras simples. 8. Productos tensoriales. Operadores de Casimir. 9. Propiedades geométricas de los grupos de Lie compactos. Métricas bi-invariantes. Conexión de Levi-Civita. Curvaturas de Riemann y Ricci. Aplicaciones. 

La evaluación consistirá en la resolución adecuada de hojas de problemas, una participación activa en clase y la exposición oral de algún tema. Alternativamente, y en caso de ser solicitado, se realizará un examen escrito sobre los contenidos tratados en el curso.

J. F. Adams. Lectures on Lie Groups, W. A. Benjamin, 1966.

L. P. Eisenhart. Continuous Groups of Transformations, Luther Press, 2007.

D. Montgomery, L. Zippin. Topological Transformation Groups, Interscience Publishers, 1967.

W. Pfeifer. The Lie Algebras su(N). An Introduction, Springer, New York, 2003.

D. H. Sattinger, O. L. O’Weaver. Lie Groups and Algebras with Applications to Physics, Geometry and Mechanics, Springer, 1986

J. P. Serre. Algèbres de Lie semi-simples complexes, W. A. Benjamin, 1966.

W. Slebodzinski. Formes extérieures et leurs applications, Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

D. P. Zhelobenko. Compact Lie Groups and their Representations, Amer. Math. Soc. 1973

El material complementario estará a disposición del alumnado en el enlace (de actualización periódica) http://www.mat.ucm.es/~rutwig/TeoriaRepresentaciones y en el campus virtual de la asignatura,
donde asimismo se incluirán referencias específicas y propuestas para temas de exposición oral.