Saber identificar el comportamiento asintótico del estado de un sistema, su dependencia continua respecto de los datos y posiblemente el comportamiento caótico, identificar los posibles controles de un modelo, optimizar la respuesta de un sistema.

Aplicación a problemas provenientes de la Física-Matemática y la Economía

Ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en diferencias

Aproximación numérica del estado de un sistema

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La asignatura es una introducción a la Teoría de control, al Análisis cualitativo de Sistemas Dinámicos, a la teoria de la bifurcación y al caos.

Ecuaciones Diferenciales ordinarias. Nociones de Teoría de la Medida.

Conocer los rudimentos de la moderna teoria de control y los sitemas dinamicos en especial los conceptos de controlabilidad, control óptimo, comportamiento cualitativo y asintótico de de sistemas dinámicos, atractores y caos para sistemas dinámicos continuos y discretos.

TEORÍA DE CONTROL Y SISTEMAS DINÁMICOS

1. Introducción. Repaso de sistemas dinámicos lineales y de la teoría fundamental de existencia, unicidad y dependencia continua de soluciones de EDOs.  
2. Estudio de los puntos de equilibrio de un sistema dinámico. Estabilidad e inestabilidad vía linealización. Análisis local cerca de un punto de equilibrio.
3. Bifurcación de puntos de equilibrio.  
4. Soluciones periódicas de sistemas periódicos. Estabilidad de órbitas periódicas de sistemas autónomos. Aplicación de Poincaré. Sistemas bidimensionales. Teoría de Poincaré Bendixson. Bifurcación de órbitas periódicas. Teorema de Bifurcación de Hopf.  
5. Caos. Definición y ejemplos. Dependencia sensible respecto a los datos iniciales. Transitividad. Sistemas caóticos unidimensionales. Semiconjugación y conjugación de sistemas dinámicos. Dinámica simbólica. El Teorema de  Li-Yorke y el Teorema de Sarkovsky. Introducción a los sistemas caóticos en dimensión mayor que 1. La ecuación de Lorenz.  
6. Teorema de Hartman-Grobman. Teorema de la variedad estable e inestable.
7. Teoría de Floquet
8. Técnicas globales. Sistemas gradiente. Funciones de Liapunov y Principio de Invarianza de Lasalle. Existencia y caracterización de atractores.  
9. Controlabilidad y observabilidad
10. Principio de máximo de Pontryagin

La asistencia y participación en clase así como el interés por la materia se tendrán en cuenta a la hora de asignar la calificación.

La evaluación se hará de la forma siguiente :

Prueba escrita en la que se calificarán los aspectos conceptuales básicos adquiridos, así como la capacidad de utilizar e interpretar los resultados obtenidos . Se complementará con la información que ea posible recabar sobre las actividades de los alumnos durante el curso (resolución individual de problemas propuestos por el profesor, discusión de cuestiones planteadas en clase, etc.).

Sistemas Dinámicos:
R.L. Devaney. "An introduction to chaotic dynamical systems". Addison-Wesley Studies in Nonlinearity. Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, second edition, 1989.
R.L. Devaney " A first course in chaotic dynamical systems", CRC Press. 1992
J.K. Hale and H. Kocak. "Dynamics and bifurcations", volume 3 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991
M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney. "Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos", volume 60 of Pure and Applied Mathematics (Amsterdam). Elsevier/Academic Press, Amsterdam, second edition, 2004.
J. Palis, W. de Melo, ``Geometric Theory of Dynamical Systems", Springer Verlag 1982
Steven H. Strogatz, "Nonlinear Dynamics and Chaos". Studies in Nonlinearity. Westview Press. 1994



Teoría de Control:
J.-M. Coron: Control and Nonlinearity, American Math. Soc., Providence, 2007
J.-P. Raymond, Optimal Control of Partial Differential Equations, Université Paul Sabatier, 2015.
E. Sontag. Mathematical control theory, Springer-Verlag, New York, second edition, 1998.
Benton, S.H.: The Hamilton-Jacobi Equations: a Global Approach, Academic Press, 1977.
Fleming, W.H. and Rishel, R.W.: Deterministic and Stochastic Optimal Control, Springer, New York, 1975.
E. Trelat, Controle Optimal, Theorie et Applications, Springer, Paris, 2005
Evans, L.C. An introduction to stochastic differential equations, AMS, 2013
J. Yong and X.Y.Zhou, Stochastic Controls, Springer, New York, 1999
P.A. Ruymgaart and T.T. Song, Mathematics of Kalman-Bucy Filtering, Springer-Verlag, Berlin, 1988
M. Bardi and I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman, Birkhauser, Boston, 2008

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

PARTE I
C. Fernandez Perez, J.M. Vegas Montaner. "Ecuaciones diferenciales II". Ediciones Piramide.
J. K. Hale. "Ordinary differential equations". Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., Huntington, N.Y., second edition, 1980.
E. Ott. Chaos in dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2002.
S. Wiggins, Stephen. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, volume 2 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 2003.


PARTE II
E.B. Lee and L. Markus, Foundations of Optimal Control Theory, John Wiley and Sons, New York, 1967.
E.N. Barron, R. Jensen.: The Pontryagin Maximuum Principle for Dynamics Programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations, Trans. Amer. Math. Soc., 298 (2), 635{641, 1986.
R. Bellman: Dynamic Programming, Princeton University Press, 1957.
P.L. Lions.: Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations, Pitman, 1982.