En las clases teóricas (de tres a cuatro horas por semana) se irá desarrollando de forma paralela la teoría de variedades algebraicas (tanto inmersas como abstractas) junto a la teoría de esquemas, haciendo más énfasis en una u otra parte según la formación previa de los alumnos.

Las clases prácticas (de una a dos horas por semana) consistirá en la resolución por parte de los alumnos de los ejercicios propuestos.

5 horas de clase a la semana

7,5

1

Se trata de un curso de Geometría Algebraica moderna, en el que, empezando desde la noción de conjunto algebraico, se pretende llegar a las técnicas más avanzadas, como teoría de esquemas, cohomología de haces, dualidad de Serre y teorema de Rieman-Roch. El enfoque será sobre todo a base de ejemplos, más que de pura teoría y demostración.

Es muy recomendable tener hecho algún curso previo de Álgebra Conmutativa y de Geometría Algebraica (aunque sea sólo uno de Curvas Algebraicas)

-Familiaridad con el cálculo de ideales y ecuaciones de conjuntos algebraicos.
-Comprensión y manejo con soltura de la noción de esquema.
-Cálculo de invariantes de esquemas (dimensión, grado, polinomio de Hilbert,...).
-Familiaridad con la relación entre divisores y fibrados lineales, con especial énfasis en el caso de curvas.

1) Conjuntos afines y proyectivos. Introducción a la noción de variedad abstracta y esquema.
2) Descomposición en componentes irreducibles.
3) Morfismos de variedades y esquemas.
4) Variedades y esquemas proyectivos. Eliminación. Módulos graduados.
5) Haces de módulos y fibrados vectoriales.
6) Estudio local de puntos. Teoría de la dimensión.
7) Divisores, fibrados lineales y morfismos al espacio proyectivo.
8) Cohomología de haces.
9) Introducción a los grandes teoremas (dualidad de Serre, Riemann-Roch,...).
10) Teoría de curvas.

Se podrá aprobar por curso con un breve examen intermedio sobre los seis primeros puntos de los contenidos temáticos y una exposición final de un tema a escoger. Cada una de estas partes contará al 50%, pudiendo subir la calificación la participación en clase durante el curso. En cualquier caso, quien lo desee podrá presentarse a un examen final para fijar o subir la calificación final.

-E. Arrondo, An informal introduction to algebraic geometry, notas del profesor disponibles online en https://www.dropbox.com/s/40a0hx7svxcz0yj/schemes.pdf
-J. Harris, D. Eisenbud, The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, 2000.
-J. Harris, Algebraic Geometry: a first course, Springer-Verlag 1992.
-R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52 Springer-Verlag 1977.
-D. Perrin, Algebraic Geometry: An Introduction, Springer-Verlag, 2008.
-I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, vol. 1, 2, Springer-Verlag 1994.

Información sobre la asignatura, como hojas de problemas y apuntes, podrá encontrarse en la página https://blogs.mat.ucm.es/arrondo/geoalg/