Comprender los conceptos básicos de la teoría de funciones de variable compleja.
Manejar las aplicaciones de esta teoría a distintas partes de la matemática y en especial al cálculo de integrales de funciones de variable real.
Conocer la teoría de la señal y el filtrado de señales usando la Transformada de Fourier.

Construcción del plano complejo, operaciones con números complejos, series de potencias, funciones elementales (trigonométricas, hiperbólicas, logaritmo y logaritmo principal, potencias de números complejos). Manejo de funciones holomorfas y analíticas. Determinación de la diferenciabilidad mediante las Identidades de Cauchy-Riemann. Comprender los Teoremas de Identidad para funciones analíticas. Cálculo de integrales de funciones complejas sobre caminos. Comprender y usar los teoremas esenciales del análisis complejo de una variable, como el Teorema Integral de Cauchy, la Fórmula Integral de Cauchy con sus aplicaciones: existencia de primitivas, el Teorema de Analiticidad de Funciones Holomorfas, Desigualdades de Cauchy y el Teorema de Liouville y el Teorema Fundamental del Álgebra. Comprender y clasificar singularidades aisladas, usar series de Laurent y aplicar el Teorema de Laurent para llegar al Teorema de los Residuos de Cauchy. Se pondrá especial énfasis en la aplicación el cálculo de residuos y su aplicación al cálculo de integrales. Uso del Teorema de Rouché para localizar raíces. Introducción a los espacios euclídeos y de Hilbert, noción de ortogonalidad y ortogonalización de bases mediante el método de Gram-Schmidt. Desarrollo del algoritmo con Matlab. Formalización de la serie de Fourier en un espacio de Hilbert (separable): Teorema de la Proyección Ortogonal Sobre Convexos Cerrados y sobre subespacios cerrados, la Desigualdad de Bessel, la Identidad de Bessel, etc. Manejo de series de Fourier en espacios de funciones de cuadrado integrable. Uso de la Identidad de Parseval para el cálculo de series numéricas. Modelización de señales. Espectro de señales (luz y sonido). Tratamiento de señales con la DFT e implementación del algoritmo de la FFT con Matlab. Implementación de filtros con Matlab. Aplicaciones al tratamiento digital y a la compresión de imágenes y audio.

Sí

Sí

No

Entrega de problemas a través del CV.
Realización de tests en el CV.
Realización de prácticas con MATLAB. Como mínimo se implementará un filtro para eliminar el ruido de un archivo de sonido usando análisis de Fourier.

2,4

3,6

6

No hay

Manejo de las funciones analíticas de variable compleja y los resultados fundamentales sobre ellas, y también la utilización de una herramienta tan potente como el Transformada de Fourier.

En una dinámica de enseñanza presencial, el examen final tendrá un peso mínimo del 80%. Para completar la calificación se valorarán los siguientes aspectos:
1. La participación en clase, en particular en las clases prácticas.
2.Entrega de problemas a través del campus virtual.
3.Realización de al menos dos pruebas a través del campus virtual.
4. Realización de prácticas con Matlab para el tratamiento de señales.

1. J.B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978.
2. G. Gasquet, P. Witomski, Fourier Analysis and Applications. Springer, 1998.
3. J.E. Marsden, M.J. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987.
4. A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Senhales y Sistemas, Prentice-Hall 1997.
5. W. Rudin, Analisis Real y Complejo, McGraw-Hill, 1988.
6. G. VERA, Variable Compleja, problemas y complementos. Ediciones Electrolibris S.L. 2013.
7. J. Proakis, D. Manolakis, Digital signal processing. Pearson, 2014.

Se pondrán en el Campus Virtual, a disposición de los alumnos, hojas de problemas y notas complementarias de algunos temas, especialmente de la parte de teoría de la señal.