Es más probable tirar una moneda y que nos salgan 16 caras de forma consecutiva que ganar el gordo de la lotería de Navidad. Aún así, todos jugamos, incluidos, quienes trabajamos con números. La lotería de Navidad es un sorteo que, mal que nos pese, lleva asociado un simbolismo que trasciende al resto de juegos de azar.  ¿Cuál es la relación de la lotería con las matemáticas? ¿Existe alguna estrategia que aumente la probabilidad de ganar?

21 de diciembre de 2021. Hace unos días, como cada año, recibí un correo de mi empresa ofreciéndome lotería de Navidad. Seguramente no parezca algo reseñable en estas fechas. Pero en este caso, mi remitente es el departamento de estadística de la universidad donde trabajo. 

Quizás sorprenda que se compre lotería en un departamento de estadística, ya que no son pocos los "expertos" que suelen tachar de ignorantes a quienes deciden participar, como los que juzgan a quienes comen roscón una sola vez al año por su contenido de azúcar. Durante unos días, un experimento aleatorio se convierte en tema de conversación, por lo que es lógico que desde la comunidad matemática aprovechemos la ventana mediática. 

No es una estrategia acertada la condescendencia, las hipérboles o el desprecio a quienes juegan a la lotería de Navidad

Es cierto que la supuesta "ilusión" colectiva detrás del evento no debería servir para romantizar el juego, pero tampoco parece una estrategia acertada la condescendencia ("yo no juego, yo sí sé matemáticas"), las hipérboles (equiparándolo a las casas de apuestas) o el desprecio ("el impuesto de los que no saben matemáticas").

Si los que saben de probabilidad también participan, ¿por qué jugamos a este sorteo? La respuesta la tenemos en la Teoría de la Decisión, donde intersecan las matemáticas, la psicología, la sociología y la economía, siendo muchos quienes deciden participar aun intuyendo que sus probabilidades de ganar son ínfimas, comprando más un seguro ("¿y si toca a toda la empresa?") que una inversión.

Solo 5 de cada 100 números te generan ganancias

Para conocer el origen del sorteo nos tenemos que remontar a 1763, bajo el reinado de Carlos III y con Leopoldo de Gregorio (Marqués de Esquilache) al frente de la Hacienda Real, quién ideó la «Lotería Real» como una manera de aumentar la recaudación en mitad de un clima de desafección a la corona. 

La mecánica actual del sorteo es bastante simple: dentro del bombo hay 100.000 números y de cada número se imprimen 172 series de 10 décimos cada una. Cada décimo cuesta 20 euros y, en el mejor de los casos, tan solo 15 304 números tendrán premio (15 de cada 100). Además, dado que con el reintegro tan solo recuperas el gasto, son solo 5305 números (5 de cada 100) con los que realmente podrías ganar dinero.

Y aunque la probabilidad de ganar el gordo es ínfima (es más probable tirar una moneda y que nos salgan 16 caras de forma consecutiva), no es solo ahí donde radica nuestra probable pérdida. Al fin y al cabo, tenemos un 15% de opciones de no perder dinero. La clave está en lo que llamamos esperanza matemática. 

Aún ganando, el conjunto de los premios es insuficiente

Imagina el siguiente juego: si tiras una moneda y sale cruz, ganas 20 euros, pero para poder participar debes pagar una inscripción de 20 euros. La probabilidad de premio ya no es tan insignificante; sin embargo, si participas un número suficiente de veces, acabarás con una pérdida media de 10 euros: en la mitad de las tiradas pierdes 20 euros, y en la otra mitad solo recuperas lo gastado, sin beneficio alguno. 

En matemáticas llamamos a esta cantidad esperanza o valor esperado. Si repetimos el juego con un premio de 50 euros, la mitad de las tiradas seguiremos perdiendo 20 euros pero en la otra mitad ganaremos 30 euros (tras descontar la inscripción), de forma que el beneficio esperado tras varias tiradas estará en torno a los 5 euros: aunque las probabilidades de éxito sean las mismas, la compensación cuando ganamos es distinta, permitiéndonos perder más veces con un balance positivo.

En general, si tenemos solo una opción de cada X de ganar, no nos compensará jugar hasta que nos ofrezcan al menos X veces más de premio que la cuota inicial que nos piden: dado que solo existe un primer premio entre 100 000, y cada décimo cuesta 20 euros, el premio por décimo debería ser de, al menos, 2 000 000 millones de euros (5 veces más que el actual) para un beneficio esperado positivo. 

En el caso de la lotería de Navidad actual, el cálculo de la esperanza matemática es algo más complejo, ya que hay que multiplicar cada uno de los premios (tras el cobro de Hacienda) por la probabilidad de obtenerlos, obteniendo un valor esperado de -6.91 euros, con una pérdida segura de 20 euros en 84 696 números. Su condición de gasto no radica tanto en su escasa probabilidad de conseguir los premios grandes, sino en que cuando sucede, el premio otorgado no es lo suficientemente alto como para que nos compensase participar cada año (desde un punto de vista probabilístico). Para eso se inventó.

¿Influye la administración en la que compremos?

Dicho todo lo anterior y con las reglas del juego sobre la mesa, nos disponemos a adquirir nuestro décimo. ¿Eres de las personas que acude a una administración en concreto por un componente sentimental? Esta es una decisión que no podremos explicar desde la probabilidad, pero si realmente basas dicha decisión en aumentar tus opciones, la probabilidad de perder será exactamente la misma.

Quizás sea más sencillo de entender con un ejemplo extremo: una sola administración que comprase la totalidad de los décimos, y por tanto vendiese la totalidad de los premios. Si tu probabilidad de ganar se incrementase cuántos más premios vendiese, todo el mundo tendría premio asegurado. Sin embargo, solo 15 304 de los números seguirían teniendo un premio asignado, la probabilidad de premio permanece inmutable: cuando una administración aumenta sus ventas, el único beneficiado es el propio establecimiento (y el Estado, claro). Compres donde compres. Así que, si lo haces, que sea físicamente en una administración de tu barrio. Fomentemos el comercio local.

La pregunta del millón: ¿existe alguna estrategia para aumentar nuestras opciones de ganar?

Siempre que se acercan estas fechas aparecen personas “altruistas” que comparten “métodos novedosos” para ganar. Sin embargo, todos acaban en el mismo punto: la mejor apuesta es la que no se realiza, y la única opción de aumentar tus opciones es gastarte más dinero. 

Al ser un juego de azar en el que cada resultado es equiprobable, las probabilidades de perder son las mismas, optes por el número que optes. Es alrededor de esta última premisa sobre la que versan varios de los bulos que circulan estos días, mencionando una supuesta «memoria» de los números premiados en el pasado (bulo conocido como la falacia del apostante).

Al ser un juego de azar en el que cada resultado es equiprobable, las probabilidades de perder son las mismas, optes por el número que optes

Al igual que la probabilidad de salir cara al tirar una moneda es del 50%, independientemente del número de caras que hayan salido antes, la probabilidad de todos los números es exactamente la misma, 1 de cada 100 000.

Ya sabes nuestro secreto mejor guardado: los matemáticos, aunque no deberíamos, también participamos en la lotería de Navidad, y la decisión tiene más que ver con la sociología que con la probabilidad, aunque esta última nos diga que la mejor forma de no perder dinero es no participando.

Javier Álvarez Liébana, el autor de este texto, es investigador Ayudante Doctor en la Facultad de Estudios Estadísticos de la Universidad Complutense, y divulgador en redes sociales (@dadosdelaplace)

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