Boletín del IMI
Nº 43 (31 de marzo de 2022)

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Gotas provocadoras
M. Victoria Otero Espinar
Universidad de Santiago de Compostela
Twitter: @MvictoriaOtero

Chove en Compostela. La ciudad donde, dicen, hasta la lluvia es arte. ¡Cómo no hipnotizarse con las gotas al caer! ¡Cómo no fascinarse con las estampas de edificios y transeúntes en los charcos! ¡Qué formas las del agua sobre las superficies!

¡Cuántas imágenes cargadas de matemáticas!

Numerosos investigadores se han interesado en conocer cómo y por qué se producen esos fenómenos: comprender la forma de gotas de agua en contacto con superficies, cómo se forma una gota o la geometría con la que cae y se rompe en gotas de tamaño más pequeño…

Este fenómeno tan cotidiano es un ejemplo hidrodinámico sencillo de singularidad en la que cantidades físicas se vuelven discontinuas en tiempo finito, y se manifiesta por un cambio en su topología. Un fenómeno tan común pero que todavía no se ha podido demostrar matemáticamente.

Como observaron Félix Savart y Joseph Plateau, y analizó teóricamente Lord Rayleigh, una columna de líquido se rompe espontáneamente en gotas bajo la influencia de la tensión superficial. Esta tendencia de las moléculas de los líquidos a juntarse es la causante de que, por el principio de mínima energía, la superficie libre sea la mínima posible y se comporte como una especie de membrana elástica. Los fenómenos relacionados con la tensión superficial fascinaron a investigadores, y la descripción matemática iniciada por Young y Laplace abrió la puerta a su estudio sistemático.

Esta fuerza de cohesión es débil y se rompe con facilidad. Una ligera perturbación de la situación de equilibrio puede producir inestabilidades en la dinámica de su superficie y provocar su ruptura. Ruptura que está relacionada con las singularidades de las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan la evolución de los fluidos incompresibles. Como es conocido, su existencia es uno de los problemas más importantes y complicados de las Matemáticas.

La inestabilidad de Rayleigh puede ser una causa de formación de singularidades en tiempo finito en el modelo de Navier-Stokes de caída de una columna de fluido; es decir, puntos en los que el campo de velocidades o la geometría de la superficie pierden la regularidad inicial. Sin embargo, es todavía un problema abierto demostrar que dicha inestabilidad provoque su ruptura en tiempo finito, tal y como se observa en la naturaleza y como ya se ha mostrado numéricamente.

Sigamos mirando esa insignificante gota de agua al caer, ella es la causante de numerosos e importantes progresos en distintos ámbitos de las Matemáticas.