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En este curso se presenta un conjunto de herramientas del análisis clásico, la teoría de la medida y el análisis funcional, en las cuales juega un papel relevante la estructura métrica o geométrica del espacio euclídeo, o más generalmente, de los distintos espacios considerados. En el contexto euclídeo, se estudian distintas propiedades de las funciones de Sobolev, las funciones Lipschitz y las funciones convexas. Se consideran sus propiedades de diferenciabilidad y sus propiedades de extensión. Por otra parte, el curso incluye una introducción al análisis en espacios métricos de medida. Se presentan algunos resultados fundamentales, como son los teoremas de recubrimiento y sus consecuencias. Se estudian también las propiedades generales de las curvas en un espacio métrico. Finalmente, se desarrolla la teoría de los espacios de Sobolev sobre espacios métricos, basados en la noción de gradiente superior.

Teoría de la Medida

Un primer objetivo es conocer y manejar algunas de las principales herramientas del análisis geométrico en el espacio euclídeo, sobre todo en relación con las propiedades finas de las funciones y su interacción con la teoría geométrica de la medida. Además otro objetivo adicional es introducir los aspectos básicos del análisis en espacios métricos de medida, y manejar los espacios de Sobolev definidos en espacios métricos.

La participación en clase, la entrega de ejercicios propuestos y las exposiciones orales será en general suficiente para la calificación final. Si fuera necesario habría un examen final.

- L.C. Evans, R.F. Gariepy. Measure theory and fine properties of functions. Revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

- P. Hajlasz, Sobolev spaces on metric-measure spaces. American Mathematical Society 338 (2003), 173-193.

- Curso de P. Hajlasz, Geometric Analysis. https://sites.pitt.edu/~hajlasz/Notatki/Analysis_4.pdf

- Ferrera, J. An Introduction to Nonsmooth Analysis; Academic Press: Waltham MA, 2014.

- K. Falconer, Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1990.

- J.Heinonen, P. Koskela, N. Shanmugalingam, and J. T. Tyson. Sobolev spaces on metric measure spaces. An approach based on upper gradients. New Mathematical Monographs, 27. Cambridge University Press, Cambridge, 2015.

- R. Howard, Aleksandrov's Theorem On The Second Derivatives Of Convex Functions, 1998.

- E. M. Stein, R. Shakarchi. Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press, 2009.