Dominar el uso del grado de Brouwer y manejar el de Leray-Schauder.
Dominar el uso del grado para obtener resultados de bifurcación global.

40 clases teóricas en total

10 clases prácticas que se utilizan para algunas de las exposiciones orales de los alumnos o para problemas.

Cada alumno debe efectuar algunas exposiciones de carácter teórico o práctico en la pizarra.

50 horas lectivas

5

2

Grado de Brouwer. Grado de Leray-Schauder. Aplicaciones topológicas. Teorí­a local de bifurcación. Autovalores no lineales. Teoría global de bifurcación. Cómputo del grado topológico.

Haber cursado alguna licenciatura de Matemáticas

El objetivo principal es la construcción del grado topológico de Brouwer-Leray-Schauder y la demostración de sus propiedades fundamentales, como la invariancia por homotopí­a generalizada, que permiten utilizarlo posteriormente para estudiar la estructura de las componentes acotadas del conjunto de soluciones de las ecuaciones no lineales de punto fijo relativas a operadores compactos y para caracterizar los autovalores no lineales en problemas de bifurcación por medio de la multiplicidad algebraica generalizada de autovalores. El grado topológico es una de las herramientas matemáticas más importantes que ha alumbrado el Análisis no Lineal el siglo pasado. Sus aplicaciones son extraordinariamente variadas, cubriendo no sólo amplias parcelas de las propias ciencias matemáticas, como la Teoría de juegos, la Topología, el Álgebra, el Análisis, en general, y la Ecuaciones en Derivadas Parciales no lineales, en particular, sino otras disciplinas cientí­ficas como la economía, la ecologí­a, la física, la química, la bioquímica, y la propia ingeniería.

PARTE I: GRADO TOPOLÓGICO 1.- Preliminares de topologí­a diferencial. Teorema de Sard. 2.- Construcción del grado topológico de Brouwer: Versión diferenciable. Idea de la construcción con técnicas de topología algebraica. 3.- Propiedades fundamentales del grado. Consecuencias: algunos teoremas topológicos clásicos. 4.-Teorema de unicidad de Amann y Weiss. 5.- Campos vectoriales. Característica de Euler. Teorema de Poincaré-Hopf. 6.- Grado de Leray-Schauder: Construcción y propiedades básicas. PARTE II:APLICACIONES: BIFURCACIÓN Y DINÁMICA. 7.- Teoría global de bifurcación. Comportamiento global de componentes semi-acotadas de ecuaciones de punto fijo para operadores compactos. Alternativa global de P. H. Rabinowitz. 8.- Índice de punto fijo. Aplicaciones del índice a problemas clásicos de dinámica de superficies. Teorema de Le Calvez-Yoccoz.

Asistencia a las clases y nivel de conocimientos mostrados en las exposiciones orales. Se evaluará atendiendo a las exposiciones y a los problemas resueltos por los alumnos.

R. Brown, A topological introduction to nonlinear analysis, Birhäuser, Boston (1993).

K. Deimling, Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1985).

J. Jezierski, W. Marzantowicz, Homotopy methods in topological fixed and periodic points theory, Netherlands (2006).

J. López-Gómez, Spectral Theory and Nonlinear Functional Analysis, Chapman and Hall/CRC Research Notes in Mathematics 426, Boca Raton 2001.

J.W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. University Press of Virginia, 1965.

E. Outerelo, J. Ruiz, Mapping degree theory, Graduate Studies in Math. Vol, 108. AMS-RSME (2009).

Salvo imperativo, es obligatoria la asistencia a clase.