CG1, CG2, CG3, CG4 (véase la descripción de las competencias en la ficha de la titulación)

CT1, CT2, CT3, CT4, CT5 (véase la descripción de las competencias en la ficha de la titulación)

Manejo de extensiones algebraicas de cuerpos. Manejo de cuerpos finitos.
Manejo de los grupos finitos de orden pequeño que aparecen en la teoría de resolución de ecuaciones.
Cálculo de los grupos de Galois de ecuaciones de grado pequeño.
Manejo de las distintas extensiones de cuerpos.
Resolución de ecuaciones polinómicas por radicales

Si

1 hora semanal de resolución de problemas por parte del profesor.

Si

No

Introduccion a la teoria de cuerpos y la teoria de Galois

Se recomienda haber superado la asignatura de Estructuras Algebraicas.

Ser capaces de aprender los conceptos basicos de la teoria de cuerpos y de la teoria de Galois.

1. Polinomios en varias variables. Las funciones simetricas elementales. Formulas de Cardano. Polinomios simetricos: teorema fundamental. Resultante y discriminante. 2. Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas y trascendentes. Cuerpo de descomposicion; existencia y unicidad. Teorema del elemento primitivo. 3. Cuerpos finitos: elementos primitivos. El cuerpo de p^n elementos esta formado por las raices del polinomio t^{p^n}-t. 4. Grupo de Galois de una extension finita. Las extensiones de Galois son los cuerpos de descomposicion. Teorema fundamental de la teoria de Galois. 5. Grupos resolubles y extensiones radicales. Teorema de Abel-Galois: Un polinomio es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble. 6. Grupo de Galois de los polinomios t^n-a, de los polinomios ciclotomicos y de los polinomios de grado 2, 3 y 4. El problema inverso: el grupo simetrico S_p y los grupos ciclicos finitos como grupos de Galois sobre Q. La ecuacion general de grado n.

Para obtener información acerca del aprovechamiento de cada alumno a lo largo del curso se tendrán en cuenta la elaboración de trabajos, exposiciones en clase, pruebas escritas, entregas de problemas y la evaluación in situ del estudiante en base a su participación en la clase. La evaluación de estas actividades supondrá al menos un 20% de la calificación final pudiendo llegar hasta un 40% si hubiera circunstancias que así lo aconsejaran. El resto de la calificación, entre el 80% y el 60%, será en base al examen final.

D.A. Cox: Galois Theory, Wiley, 2004.

J.F. Fernando, J.M Gamboa: Ecuaciones Algebraicas. Extensiones de cuerpos y teoría de Galois. Editorial Sanz y Torres. Madrid: 2017.

I. Stewart: Galois Theory, Chapman & Hall, 2003.

Bibliografia complementaria:

E. Artin: Galois Theory, Notre Dame, 1942 (Dover, 1998).

F. Delgado, C. Fuertes, S. Xambo, Introducción al Algebra, vol. 1,2 y 3, Univ. de Valladolid, 2000.

J.M. Gamboa, J.M Ruiz, Anillos y cuerpos conmutativos, 3a edición, Cuadernos de la UNED, 2000.

T.W. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73, Springer¿Verlag, 1974.

R. Lidl - H. Niederreiter: Intro to finite fields and their applications. Cambridge University Press, 3º edition (2000).

K. Spindler: Abstract Algebra with Applications, Marcel Dekker, 1994.

J. P. Tignol: Galois Theory of Algebraic Equations, World Scientific, 2001.