En este curso se repasarán las nociones necesarias sobre números complejos para entender y utilizar resultados esenciales sobre teoría de funciones holomorfas, en concreto: el Teorema y Fórmula Integral de Cauchy y sus mútiples consecuencias, y el Teorema de los Residuos de Cauchy con aplicaciones. Igualmente se verán algunas nociones sobre espacios de Hilbert necesarias para entender el concepto de desarrollo en serie de Fourier. La noción de serie de Fourier se introducirá de forma abstracta en un espacio de Hilbert separable. En particular, también se estudiará el desarrollo en series de Fourier de funciones de cuadrado integrable en un intervalo compacto. En la última parte del curso se introducirá el concepto de transformada de Fourier, haciendo hincapié en los métodos de cálculo de transformadas y sus aplicaciones.

Comprender los conceptos básicos de la teorí­a de funciones de variable compleja. Manejar con soltura aplicaciones de esa teorí­a a distintas partes de las matemáticas, y en especial al cálculo de integrales de funciones de variable real, de gran utilidad en la estadí­stica. Conocer y manejar aspectos y nociones elementales de espacios de Hilbert. Manejar las series y transformadas de Fourier, herramientas básicas de la estadí­stica.

1.    Funciones de variable compleja. Teoremas básicos. Construcción de los números complejos. Representación de los números complejos. Módulo y argumento. Operaciones con números complejos. Series de potencias. Construcción de las funciones elementales: Exponencial, logaritmo y logaritmo principal, potencias, seno, coseno, etc. Integración sobre caminos y propiedades. Teorema de Cauchy-Goursat. Teorema de Derivación de Integrales. Teorema y Fórmula Integral de Cauchy. Teorema de Analiticidad de funciones Holomorfas. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental del Álgebra.


2.    Teorema de Cauchy de los residuos y aplicaciones. Teorema de Laurent. Clasificación de singularidades: Singularidades aisladas.  Teorema de los residuos de Cauchy. Cálculo de residuos. Cálculo de integrales reales de funciones racionales trigonométricas. Cálculo de integrales reales de funciones con polos en el semiplano superior. Cálculo de integrales reales de funciones con polos en el semiplano superior y eje real.


3.    Espacios de Hilbert. Productos internos. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Normas y normas euclídeas. Convergencia en espacios euclídeos: Espacios de Hilbert. Ortogonalidad. Teorema de la Proyección Ortogonal sobre Convexos Cerrados. Proyección ortogonal sobre subespacios cerrados. Desigualdad de Bessel. Bases de Hilbert y series de Fourier en espacios de Hilbert con base de Hilbert. Identidad de Parseval. El espacio de funciones de cuadrado integrable L^2 [a,b]. Bases de Hilbert en L^2 [-pi,pi]. Series de Fourier en L^2 [-pi, pi].

4.    Transformadas de Fourier. Definición en L^1 (R). Teorema de Inversión (informal). Fórmulas de cálculo de transformadas de Fourier. Translaciones, cambios de escala, modulaciones, derivadas, productos por x, funciones con saltos, etc. Convolución.