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Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2024/2025.

TÉCNICAS DE ANÁLISIS GEOMÉTRICO - 606168

Curso Académico 2024-25

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Clases prácticas
Exposiciones

Presenciales

5

Semestre

2

Breve descriptor:

En este curso se presenta un conjunto de herramientas del análisis clásico, la teoría de la medida y el análisis funcional, en las cuales juega un papel relevante la estructura métrica o geométrica del espacio euclídeo, o más generalmente, de los distintos espacios considerados. En el contexto euclídeo, se estudian distintas propiedades de las funciones de Sobolev, las funciones Lipschitz y las funciones convexas. Se consideran sus propiedades de diferenciabilidad y sus propiedades de extensión. Por otra parte, el curso incluye una introducción al análisis en espacios métricos de medida. Se presentan algunos resultados fundamentales, como son los teoremas de recubrimiento y sus consecuencias. Se estudian también las propiedades generales de las curvas en un espacio métrico. Finalmente, se desarrolla la teoría de los espacios de Sobolev sobre espacios métricos, basados en la noción de gradiente superior.

Requisitos

Teoría de la Medida

Objetivos

Un primer objetivo es conocer y manejar algunas de las principales herramientas del análisis geométrico en el espacio euclídeo, sobre todo en relación con las propiedades finas de las funciones y su interacción con la teoría geométrica de la medida. Además otro objetivo adicional es introducir los aspectos básicos del análisis en espacios métricos de medida, y manejar los espacios de Sobolev definidos en espacios métricos.

Contenido

PARTE 1. Análisis en el espacio euclídeo. 

  1.  Espacios de Sobolev. Aproximación por funciones regulares. Inclusiones de Sobolev, desigualdades de Morrey y de Poincaré. 
  2.  Teoremas de extensión.Teorema de Mcshane y Teorema de Whitney. Extensión de funciones de Sobolev. 
  3.  Diferenciabilidad en casi todo punto. Teorema de Rademacher y teorema de Stepanov.  
  4.  Medidas de Hausdorff. Conjuntos de Cantor. Ejemplos. 
  5.  Teorema de Morse-Sard. Contraejemplo de Whitney. Generalizaciones. 
  6.  Funciones subdiferenciables y convexas. Teorema de Aleksandrov.


 PARTE 2: Análisis en espacios métricos. 

  1.  Medidas doblantes y espacios métricos doblantes. Teoremas de recubrimiento. Teorema de diferenciación de Lebesgue. Función maximal. 
  2.  Curvas en espacios métricos. Longitud y velocidad de una curva. Existencia de geodésicas. Integrales sobre curvas. 
  3.  Gradientes superiores y módulo de una familia de curvas. 
  4.  Espacios de Newton-Sobolev en espacios métricos.

Evaluación

La participación en clase, la entrega de ejercicios propuestos y las exposiciones orales será en general suficiente para la calificación final. Si fuera necesario habría un examen final.

Bibliografía

- L.C. Evans, R.F. Gariepy. Measure theory and fine properties of functions. Revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

- P. Hajlasz, Sobolev spaces on metric-measure spaces. American Mathematical Society 338 (2003), 173-193.

- Curso de P. Hajlasz, Geometric Analysis. https://sites.pitt.edu/~hajlasz/Notatki/Analysis_4.pdf

- Ferrera, J. An Introduction to Nonsmooth Analysis; Academic Press: Waltham MA, 2014.

- K. Falconer, Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1990.

- J.Heinonen, P. Koskela, N. Shanmugalingam, and J. T. Tyson. Sobolev spaces on metric measure spaces. An approach based on upper gradients. New Mathematical Monographs, 27. Cambridge University Press, Cambridge, 2015.

- R. Howard, Aleksandrov's Theorem On The Second Derivatives Of Convex Functions, 1998.

- E. M. Stein, R. Shakarchi. Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press, 2009.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único20/01/2025 - 11/04/2025LUNES 10:00 - 12:00-JESUS ANGEL JARAMILLO AGUADO
MIGUEL GARCIA BRAVO
MIÉRCOLES 10:00 - 11:00-JESUS ANGEL JARAMILLO AGUADO
MIGUEL GARCIA BRAVO
VIERNES 11:00 - 13:00-JESUS ANGEL JARAMILLO AGUADO
MIGUEL GARCIA BRAVO