• English
  • Youtube
  • Facebook
  • Twitter
  • Linkedin
  • Instagram
  • tiktok

Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2024/2025.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES - 606164

Curso Académico 2024-25

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
El alumno deberá dominar las herramientas básicas para el estudio de ecuaciones en derivadas parciales lineales tanto estacionarias como de evolución. Asimismo deberá asimilar algunas
técnicas para el estudio de problemas no lineales.

ACTIVIDADES DOCENTES

Presenciales

7,5

Semestre

1

Breve descriptor:

Este curso en una introduccion a las técnicas modernas de resolucion de ecuaciones en derivadas parciales, lineales y no lineales. 

Requisitos

Cursos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoría clásica de ecuaciones en derivadas parciales.
Nociones básicas de análisis funcional.

Recomendable haber superado un curso sobre la integral de Lebesgue y una introducción a la teoría de distribuciones.

Objetivos

Manejar las tecnicas funcionales modernas para el planteamiento, estudio y resolución de problemas de Ecuacioens en Derivadas Parciales de relevancia por sus aplicaciones.
Asimilación de las cuestiones relacionadas con las condiciones de contorno, condiciones iniciales y problemas de regularidad de soluciones debiles. 

Contenido

0) Herramientas básicas de análisis: mollifiers, funciones meseta, partición de la unidad.

1) Espacios de Lebesgue: Hölder, inclusiones, aproximación por funciones regulares.

2) Técnicas de espacios de Hilbert: Teorema de Lax-Milgram, Stampacchia, convergencia débil.

3) Espacios de Sobolev: Distribuciones, derivada débil, densidad, trazas, extensiones, desigualdad de Poincaré, inclusiones.

4) Problemas elípticos lineales: Soluciones débiles, existencia y unicidad, diferentes condiciones de contorno, principios del máximo, teoría de regularidad, teoría espectral.

5) Problemas de evolución lineales. Descomposición espectral. Semigrupos asociados. Regularización de las soluciones. Principios del máximo. Problemas no homogéneos.

6) Problemas de evolución no lineales. Operadores de composición. Formula de variación de las constantes. Soluciones locales. Monotonía y comparación de soluciones. Explosión en tiempo finito y soluciones globales. Estabilidad de puntos de equilibrio. Sistemas gradiente y funciones de Lyapunov. Introducción a la dinámica infinito dimensional.

7) Problemas elípticos no lineales. Métodos de sub-/super-soluciones, de punto fijo y de plano de fases. Problemas de minimización y calculo de variaciones. Lema del paso de la montaña. Introducción a la teoría de la bifurcación.



Evaluación

La asistencia y participación en clase así como el interés por la materia se tendrán en cuenta a la hora de asignar la calificación. La evaluación consistirá en resolver una colección de problemas propuestos por los profesores a lo largo del tiempo en que se imparten las clases y/o la redacción y posterior presentación de un trabajo sobre algún tema de la asignatura. Si es necesario se realizará un control a mitad de curso así como un examen final.

Bibliografía

1.- L. C. Evans, Partial Differential Equations. Graduate studies in Mathematics 19, American Mathematical Society, providence, RI 1998.

2.- M. Chipot, Elliptic Equations: An Introductory Course, Birkhäuser Advanced Texts, Basel 2009.

3.- H. Brézis, Análisis Funcional, Alianza Universidad textos, 1984.

4.- D. Gilbarg y N. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Second edition, Springer, Berlin 1983.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único04/09/2024 - 20/12/2024MARTES 11:00 - 13:00-EDUARDO MUÑOZ HERNANDEZ
JUAN CARLOS FELIPE NAVARRO
JUEVES 11:00 - 13:00-EDUARDO MUÑOZ HERNANDEZ
JUAN CARLOS FELIPE NAVARRO
VIERNES 12:00 - 13:00-EDUARDO MUÑOZ HERNANDEZ
JUAN CARLOS FELIPE NAVARRO