Saber identificar los posibles controles de un modelo, optimizar la respuesta de un sistema, identificar el comportamiento asintótico del estado de un sistema, su dependencia continua respecto de los datos y posiblemente el comportamiento caótico.

Aplicación a problemas provenientes de la Física-Matemática y la Economía

Ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en diferencias

Aproximación numérica del estado de un sistema

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La asignatura es una introducción a la Teoría de control, al Análisis cualitativo de Sistemas Dinámicos, a la teoria de la bifurcación y al caos.

Ecuaciones Diferenciales ordinarias. Nociones de Teoría de la Medida.

Conocer los rudimentos de la moderna teoria de control y los sitemas dinamicos en especial los conceptos de controlabilidad, control óptimo, comportamiento cualitativo y asintótico de de sistemas dinámicos, atractores y caos para sistemas dinámicos continuos y discretos.

TEORÍA DE CONTROL.

Cap 1. Repaso sobre el Cálculo de Variaciones

  1.Algunos ejemplos de problemas del C. de V.  ligados a la función longitud de arco.

  2.Minimización abstracta.

  3.Ecuación de Euler-Lagrange y Condición de Weierstrass-Erdman: formulación escalar.

  4.Condiciones de mínimo de Jacobi.

  5.Ejemplos y Formulación vectorial.

Cap 2. Controlabilidad y Observabilidad

  1.Apéndice 1: Herramientas sobre sistemas dinámicos controlados. Exponencial de una matriz. Teorema de   Caley-Hamilton. Ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes discontínuos.

  2.Ejemplos de la Mecánica Clásica: motivación a la controlabilidad y observabilidad .

  3.Teorema de Kalman sobre controlabilidad.

  4.Criterios de controlabilidad por controles acotados.

  5.Teorema de Kalman sobre observabilidad.

Cap 3. Control óptimo de tiempos de extinción (o llegada a cero)

  1.Controles bang-bang para extinción (o llegada a cero) en tiempo finito.

  2.Existencia de control óptimo para el tiempo de extinción y primera versión del Principio del máximo de Pontryagin.

  3.Versión hamiltoniana del Principio del máximo de Pontryagin para controles de tiempo óptimo de extinción: Repaso de Dinámica hamiltoniana en el Cálculo de Variaciones.

  4.Multiplicadores de Lagrange.

  5.Ejemplos de aplicación del Principio de Pontryagin para controles en tiempo de extinción óptimo.

Cap 4. Control óptimo para funcionales de coste generales: Teorema de Pontryagin

  1.Principio de Pontryagin generalizado: enunciado y comentarios.

  2.Regulador lineal cuadrático: tiempo final finito.

  3.Principio de Pontryagin ante restricciones de estado: enunciado y ejemplos.

  4.Demostración del P. del Máximo de Pontryagin para el problema de Mayer sin ligaduras.

  5.Condiciones suficientes de mínimo (adicionales al Principio de Pontryagin).

  6.Método variacional y extensión de la demostración del problema de Mayer al Problema de Bolza.

  7.Principio de Pontryagin para estado final condicionado y para tiempo final variable

 

SISTEMAS DINÁMICOS: 

1. Introducción. Repaso de sistemas dinámicos lineales y de la teoría fundamental de existencia,unicidad y dependencia continua de soluciones de EDOs.  
2. Estudio de los puntos de equilibrio de un sistema dinámico. Estabilidad e inestabilidad vía linealización. Análisis local cerca de un punto de equilibrio. Teorema de Hartman-Grobman. Teorema de la variedad estable e inestable. Introducción a la bifurcación de puntos de equilibrio.  
3. Soluciones periódicas de sistemas periódicos. Teoría de Floquet. Estabilidad de órbitas periódicas de sistemas autónomos. Aplicación de Poincaré. Sistemas bidimensionales. Teoría de Poincaré Bendixon. Bifurcación de órbitas periódicas. Teorema de Bifurcación de Hopf.  
4.  Técnicas globales. Sistemas gradiente. Funciones de Liapunov y Principio de Invarianza de Lasalle. Existencia y caracterización de atractores.   
5. Caos. Definición y ejemplos. Dependencia sensible respecto a los datos iniciales. Transitividad. Sistemas caóticos unidimensionales. Semiconjugación y conjugación de sistemas dinámicos. Dinámica simbólica. El Teorema de  LI-Yorke y el  Teorema de Sarkovsky. Introducción a los sistemas caóticos en dimensión mayor que 1. La ecuación de Lorenz.   

La asistencia y participación en clase así como el interés por la materia se tendrán en cuenta a la hora de asignar la calificación.



La evaluación de cada parte se hara de la forma siguiente :

PARTE 1. La evaluación consistirá en resolver una colección de problemas propuestos por el profesor a lo largo del tiempo en que se imparten las clases y/o la redacción y posterior presentación de un trabajo sobre algún tema de la asignatura. Si es necesario se realizará un examen final.


PARTE 2. Prueba escrita en la que se calificarán los aspectos conceptuales básicos adquiridos, así como la capacidad de utilizar e interpretar los resultados obtenidos . Se complementará con la información que ea posible recabar sobre las actividades de los alumnos durante el curso (resolución individual de problemas propuestos por el profesor, discusión de cuestiones planteadas en clase, etc.).

Teoría de Control:
J.-M. Coron: Control and Nonlinearity, American Math. Soc., Providence, 2007
J.-P. Raymond, Optimal Control of Partial Differential Equations, Université Paul Sabatier, 2015.
E. Sontag. Mathematical control theory, Springer-Verlag, New York, second edition, 1998.
Benton, S.H.: The Hamilton-Jacobi Equations: a Global Approach, Academic Press, 1977.
Fleming, W.H. and Rishel, R.W.: Deterministic and Stochastic Optimal Control, Springer, New York, 1975.
E. Trelat, Controle Optimal, Theorie et Applications, Springer, Paris, 2005
Evans, L.C. An introduction to stochastic differential equations, AMS, 2013
J. Yong and X.Y.Zhou, Stochastic Controls, Springer, New York, 1999
P.A. Ruymgaart and T.T. Song, Mathematics of Kalman-Bucy Filtering, Springer-Verlag, Berlin, 1988
M. Bardi and I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman, Birkhauser, Boston, 2008

Sistemas Dinámicos:
R.L. Devaney. "An introduction to chaotic dynamical systems". Addison-Wesley Studies in Nonlinearity. Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, second edition, 1989.
R.L. Devaney " A first course in chaotic dynamical systems", CRC Press. 1992
J.K. Hale and H. Kocak. "Dynamics and bifurcations", volume 3 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991
M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney. "Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos", volume 60 of Pure and Applied Mathematics (Amsterdam). Elsevier/Academic Press, Amsterdam, second edition, 2004.
J. Palis, W. de Melo, ``Geometric Theory of Dynamical Systems", Springer Verlag 1982
Steven H. Strogatz, "Nonlinear Dynamics and Chaos". Studies in Nonlinearity. Westview Press. 1994

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

PARTE I
E.B. Lee and L. Markus, Foundations of Optimal Control Theory, John Wiley and Sons, New York, 1967.
E.N. Barron, R. Jensen.: The Pontryagin Maximuum Principle for Dynamics Programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations, Trans. Amer. Math. Soc., 298 (2), 635{641, 1986.
R. Bellman: Dynamic Programming, Princeton University Press, 1957.
P.L. Lions.: Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations, Pitman, 1982.


PARTE II

C. Fernandez Perez, J.M. Vegas Montaner. "Ecuaciones diferenciales II". Ediciones Piramide.
J. K. Hale. "Ordinary differential equations". Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., Huntington, N.Y., second edition, 1980.
E. Ott. Chaos in dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2002.
S. Wiggins, Stephen. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, volume 2 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 2003.