5

2

La asignatura tiene como objetivo el estudio de las propiedades locales de los conjuntos analíticos (esto es subconjuntos de abiertos de C^n que se pueden describir localmente como ceros de funciones analíticas u holomorfas en varias variables) y de los morfismos (analíticos) que se pueden establecer entre dichos conjuntos. Los teoremas de preparación y de división de Weierstrass y las buenas propiedades algebraicas de los anillos de series que de ellos se derivan (en especial la noetherianidad), hacen que el comportamiento local de los conjuntos analíticos sea similar al de los conjuntos algebraicos.  El objetivo fundamental de la asignatura será analizar el comportamiento local de los espacios analíticos. Ello involucrará la introducción del concepto de germen de función analítica y de conjunto analítico y el estudio pormenorizado de sus principales propiedades. Las limitaciones de tiempo solo nos permitirán efectuar breves incursiones ilustrativas del estudio global de los conjuntos analíticos. El estudio sistemático del caso global requiere el manejo de los haces analíticos y solo se podrá abordar si los alumnos tienen los conocimientos previos adecuados. 

 
1: Series formales y convergentes. Teorema de división de Rückert-Weierstrass y teorema de preparación de Weierstrass. Teoremas de la función implicita, de la función inversa y del rango.
2: Teorema de normalización de Noether, teorema de preparación de Weierstrass para ideales y teorema de parametrización local. Morfismos analíticos y teorema de substitución.
3: Teorema de finitud de Mather y Criterio jacobiano.  Criterio jacobiano generalizado.
4: Teorema de Newton-Puiseux y Nullstellensatz de Ruckert. Resultados sobre clasificación de singularidades aisladas simples.
5: Subvariedades analíticas y teorema de extensión de Riemann. Propiedades de los conjuntos analíticos. Revisión de los resultados anteriores aplicables a subvariedades y conjuntos analíticos. Puntos lisos de conjuntos analíticos.
6. Gérmenes analíticos: Definición y propiedades. Revisión de todos los resultados anteriores aplicables a gérmenes. Criterio jacobiano: caracterización de los germenes regulares.
7: Recubrimientos quasianalíticos y analíticos. Formas débil y fuerte del teorema de parametrización local. Aplicaciones.
8: Irreduciblidad de gérmenes y conjuntos analíticos. Componentes irreducibles. 

B. Estudio global de los conjuntos analíticos (Opcional: en funcion del tiempo y de los conocimientos previos de los estudiantes)

Para obtener información suficiente acerca del aprovechamiento de cada alumno el profesor de esta asignatura recogerá ejercicios de cada tema a los alumnos y al final del curso estos deberán realizar una exposición online o presencial de entre 20 y 45 minutos en función del número de alumnos matriculados. Para aquellos alumnos para los que el profesor no tenga suficientes evidencias para decidir su calificación el profesor les hará un examen escrito u oral, que podrá ser presencial o a distancia, según lo aconsejen las circunstancias sanitarias de ese momento.

Apuntes de clase suministrados por el profesor.

Gunning, R.C. y Rossi, H.: Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice Hall (1965).
de Jong, Theo; Pfister, Gerhard Local analytic geometry. Basic theory and applications. Advanced Lectures in Mathematics. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 2000.
Kaup, L. y Kaup, B.: Holomorfic functions of several variables. Walter de Gruyter (1983).
Narasimhan, R.: Introduction to the theory of Analytic Spaces. Lect. Notes in Math. 25, Springer-Verlag (1966).
Ruiz, Jesús M. The basic theory of power series. Advanced Lectures in Mathematics. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1993.