Sí

Sí

No

No

No

Sí

Sí

7,5

9

El curso está dividido en dos partes. La primera parte se desarrolla a lo largo de 7 semanas y está dedicada a presentar algunos conceptos y técnicas fundamentales del Análisis Real. La parte segunda consta en total de 8 semanas y constituyen una introducción al Cálculo de Variaciones y sus aplicaciones.

Los contenidos se expondrán en clases teórico-prácticas. La carga docente será de 5 horas semanales, de las cuales, en promedio, 3 se dedicarán a contenidos teóricos y 2 a contenidos prácticos. La metodología del curso fomentará la participación de los alumnos, que podrán realizar presentaciones orales o escritas, así como prácticas y ejercicios.

Es muy recomendable haber cursado las asignaturas de Teoría de la Medida y de Ecuaciones en Derivadas Parciales del Grado

Introducir a los alumnos a las técnicas básicas del Análisis Real y del Cálculo de Variaciones (como metodología casi universal en el tratamiento de modelos matemáticos de la Física, Ingeniería, Economía y otras ciencias).

PARTE 1 (35 HORAS)

Profesor: Javier Soria

PROGRAMA

1. Repaso de Integración en espacios de medida.  Teoremas de la convergencia monótona y lema de Fatou: consecuencias. Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Medida con densidad. Medida imagen. Medida e integración en espacios producto: Teorema de Fubini-Tonelli.

2. Medidas con signo. Teorema de descomposición de Hahn. Teorema de descomposición de Jordan.  Teorema de Radon-Nikodym.

3. Espacios funcionales: Espacios Lp y dualidad; funciones de variación acotada; etc.

4. Series y transformada de Fourier. Definición y propiedades. Teorema de Plancherel. Principio de Incertidumbre. Análisis Armónico en grupos localmente compactos. Medida de Haar: ejemplos y propiedades.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

PARTE 2 (40 HORAS)

Profesor: Aníbal Rodríguez Bernal

PROGRAMA.

1. Introducción.  Motivación y ejemplos.

2. Mínimos absolutos. Método directo del cálculo de variaciones.

3. Mínimos, máximos y puntos críticos.

4. Minimización con restricciones.

5. Otros puntos críticos. Teorema del paso de la montaña. 

Cada parte tendrá una prueba escrita en la que se calificarán los aspectos conceptuales básicos adquiridos, la capacidad de análisis, así como la capacidad de interpretar los resultados obtenidos. Se complementará con la participación del alumno en clase.

La nota final será el promedio ponderado de ambas pruebas

PARTE 1:

- J. Cerdà. Análisis Real. Edic. Universidad de Barcelona, 1996. ISBN 978-8-4922-0042-9
- D. L. Cohn. Measure Theory. Springer, 1980. ISBN 978-1-4899-0401-0
- G. B. Folland. Real Analysis. Wiley, 1984. ISBN 978-0-4713-1716-6
- M. de Guzmán. Real Variable Methods in Fourier Analysis, 1981. ISBN: 978-0-444-86124-5


PARTE 2.

- Haim Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. ISBN 978-0-387-70913-0.
- Bernard Dacorogna. Introduction to the calculus of variations. Imperial College Press, London, third edition, 2015. ISBN 978-1-78326-551-0.
- Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2010. ISBN 978-0-8218-4974-3.