Profundizar en conocimientos de topología algebraica, topología diferencial, geometría diferencial, variable compleja, geometría
algebraica y análisis matemático en variedades.

Se aúnan conocimientos y técnicas de la geometría, la topología, el álgebra, la variable compleja y el análisis matemático.

Topología algebraica (grupo fundamental, homología y cohomología), Geometría diferencial (geometría riemanniana, geometría
compleja, flujo de la curvatura), Geometría algebraica (curvas complejas).

Impartidas por el profesor.

Se propondrán ejercicios que han de ser resueltos por los alumnos.

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Exposicion de un trabajo de fin de curso por parte de los alumnos desarrollado de forma individual.

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7,5

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Estudio de las variedades diferenciables centrado en el caso de las superficies

Grado en Matemáticas.

- Superficies topológicas: Clasificación de superficies compactas y estructuras diferenciables.
- Propiedades topológicas: Grupo fundamental, Recubrimientos ramificados, Homología.
- Geometría riemanniana: Algunos resultados de la relación entre Geometría y Topología. Variedades homogéneas, simétricas e isotrópicas.
- Métricas de curvatura constante: Formas espaciales. Grupos de isometrías. Geometría elíptica, euclídea e hiperbólica.

La asignatura se puede evaluar con un examen final. También el posible que se pueda obtener la calificación global con la media ponderada de:
- Los ejercicios resueltos por los alumnos y entregados al profesor a lo largo del curso.
- Trabajo de fin de curso desarrollado por cada alumno sobre un tema relacionado con la asignatura.
- Participación en clase, y exposición del trabajo de fin de curso.
Las circunstancias especiales sanitarias o el número de estudiantes pueden empujar la evaluación en uno u otro sentido.

• M.P. do Carmo, Geometría Riemanniana, 2ª edición, Birkhäuser, 1988.
• A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.
• F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, London Mathematical Society, Student Texts 23, Cambridge, 1992.
• W.S. Massey, A basic course in algebraic topology. Graduate Texts in Math, 127. Springer-Verlag, 1991.
• V. Muñoz, A. González Prieto, J.A. Rojo, Geometry and Topology of Manifolds: Surfaces and Beyond. Graduate Studies in Mathematics, Springer.
• B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, Academic Press, 1983.
• I. Madsen, J.Tornehave, From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes, Cambridge University Press, 1997.

Otra bilbiografía complementaria se irá desglosando a lo largo del transcurso de la asignatura.