- Estrategias para la resolución de problemas.
- Distinguir los problemas de los ejercicios.
- Aprender a respetar las reglas del rigor matemático tanto en el estudio de los aspectos teóricos, como en la formalización de las respuestas a ejercicios y problemas planteados.
- Desarrollar la capacidad de autocrítica, reconociendo aquellos aspectos que necesitan mayor nivel de comprensión para avanzar en el propio proceso de aprendizaje

- Apreciar la diferencia entre curva parametrizada, y curva.
- Destreza en el cálculo de curvaturas.
- Entender por qué las curvaturas determinan un sistema completo de invariantes para la clasificación de curvas por congruencia.
- Comprender el concepto de superficie y relacionar las distintas definiciones equivalentes.
- Apreciar la diferencia entre superficie parametrizada y superficie.
- Saber usar coordenadas locales para resolver problemas geométricos.
- Distinguir entre lo que depende y lo que no depende del sistema de coordenadas utilizado.
- Distinguir entre geometría local y global.
- Distinguir las propiedades intrínsecas de las que no lo son, y apreciar el significado del teorema egregio de Gauss.
- Destreza en el cálculo de formas fundamentales, curvaturas etc.

Tres sesiones académicas teóricas semanales

A medida que se vaya desarrollando el temario, se entregarán listas de problemas. Habrá dos sesiones académicas semanales de problemas, una de ellas se dedicará a la resolución de algunos de los problemas planteados, la otra tendrá carácter de seminario.

3

2,5

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Se inicia al estudiante en la geometría diferencial de curvas y superficies en el espacio euclideo tridimensional.

- Análisis real en varias variables
- Geometría y álgebra lineal.
- Topología general

 
-          Resolver el problema de clasificación geométrica de curvas por movimientos, usando el método de la referencia móvil de Frenet.
-          Estudio geométrico local de las superficies en espacio euclideo tridimensional.
-          Destacar el concepto de propiedad geométrica intrínseca.

 

1.       Teoría local de curvas en el plano y el espacio euclídeo. Curvas planas. Definiciones básicas. Curvas regulares. Cambio de parámetro. Parametrización por longitud de arco. Diedro de Frenet: Curvatura. Curvas congruentes.Teorema fundamental de congruencia. Centro de curvatura Evolutas evolventes. Curvas en el espacio. Triedro de Frenet. Fórmulas de Frenet: Curvatura y Torsión. Teorema fundamental de congruencia.
2.        Teoría local de superficies.Superficies regulares. Representación local paramétrica e implícita. Cambios de coordenadas. El plano tangente en un punto.Primera forma fundamental. Cálculo integral en recintos pequeños. funciones diferenciables entre superficies. Diferencial de una función. Curvatura normal: Teorema de Meusnier. Segunda forma fundamental. Aplicación de Gauss-Weingarten. Curvaturas ydirecciones principales. Lineas de curvatura. Curvatura de Gauss. Indicatriz de Dupin. Direcciones asintóticas. Lineas asintóticas.Curvatura geodésica. Definición extrínseca de geodésica.
3.       Geometría intrínseca local de superficies.Isometrías. Superficies homeomorfas, difeomorfas, isométricas y congruentes. Carácter intrínseco. Símbolos de Christoffel. Ecuaciones diferenciales de las geodésicas: Carácter intrínseco.Teorema Egregium de Gauss. Ecuaciones de compatibilidad .Derivación intrínseca de campos tangentes a la superficie a lo largo de curvas. Derivación general intrínseca. Transporte paralelo.Carácter intrínseco de la curvatura geodésica. . Sistemas especiales de coordenadas. .
4. Geometría global de superficies.
Enunciado del Teorema fundamental (existencia y unicidad) de superficies. Teorema de Gauss para triángulos geodésicos pequeños. Teorema de Gauss-Bonnet.

Habrá un examen final obligatorio y una evaluación continua, que se realizará mediante alguno de los procedimientos siguientes: Resolución de problemas, exposiciones, participación activa en las clases o pruebas de control, según criterio del profesor.
La calificación de la evaluación continua constituirá entre el 10% y el 20% de la nota final a criterio del profesor, dependiendo de si se realizan pruebas escritas y/o entrega de trabajos.

Manfredo P. Do Carmo. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Alianza Universidad Textos (1990).



J.M. Rodriguez Sanjurjo, J.M. Ruiz Sancho. Introducción a la Geometría diferencial I. Curvas Ed. Sanz y Torres (2012)

Ángel Miguel Amores. Curso Básico de Curvas y Superficies. Ed. Sanz y Torres (2001)

Enrique Outerelo y José M. Sánchez Abril. Geometría Diferencial Elemental de Curvas y Superficies. Ed. Sanz y Torres (2009)

Noel J. Hicks. Notes on Differential Geometry. van Nostrand & Reinold (1965)

Erwin Kreyszig. Differential Geometry. Dover Publications Inc. (2003)

Sebastian Montiel, Antonio Ros. Curvas y superficies. Proyecto Sur de Ediciones (1997)

Los alumnos dispondrán de material docente en el Campus Virtual.