Algunos temas en teoría de grupos infinitos
Alejandra Garrido (Universidad Complutense de Madrid)
2 feb 2024 - 12:11 CET
Profesor UCM responsables del curso: Alejandra Garrido
Duración: 8 h
Fechas: jueves 29 febrero, viernes 1 de marzo, jueves 14 de marzo, viernes 15 de marzo de 2024.
Horario: los jueves de 10h a 12h y los viernes de 11h a 13h.
Lugar: Seminario 238
Resumen: En este curso se estudiarán algunos temas en teoría de grupos infinitos que tienen que ver con automorfismos de árboles. La primera parte se centrará en automorfismos de árboles enraizados. Son una fuente de ejemplos de grupos finitamente generados de naturaleza distinta a otros que se estudian en teoría geométrica de grupos (grupos lineares, grupos hiperbólicos, grupos fundamentales de variedades,...) y por tanto han servido de contestación de preguntas abiertas históricas como el problema de Burnside y el problema del crecimiento de palabras.
La segunda parte versará sobre grupos de automorfismos de árboles sin raíz, como ejemplos sencillos de grupos totalmente disconexos localmente compactos (tdlc).
A diferencia de los grupos localmente compactos y conexos (que esencialmente se reduce a grupos de Lie reales o complejos, por resultados de Gleason, Montgomery, Yamabe y Zippin), la teoría de los grupos tdlc es más misteriosa, y sólo se ha visto grandes progresos en los últimos 25 años. En la segunda parte del curso sólo se propone dar algunas pinceladas de esta teoría y relacionarla con los grupos de la primera parte.
No se asumirán conocimientos previos de grupos topológicos.
Parte I: grupos de automorfismos de árboles enraizados
- grupos autosimilares: ejemplos; grupos finitamente generados, infinitos de torsión; grupos de crecimiento intermedio de palabras
- grupos autosimilares y dinámica simbólica
- grupos ramificados (branch groups); el árbol se ve en la estructura de subgrupos
Parte II: grupos de automorfismos de árboles sin raíz
- teoremas de Tits: clasificación de automorfismos, grupos con la propiedad P son "casi" simples
- el grupo de automorfismos de un árbol como grupo totalmente disconexo localmente compacto (tdlc)
- brevísima introducción a grupos tdlc: resultados elementales, ejemplos, grafos de Cayley-Abels
- vínculos entre grupos tdlc y grupos de la Parte I: conmensuradores de grupos profinitos, la escala y grupos autosimilares
Bibliografía:
Bartholdi, Grigorchuk, Sunik, Branch groups, Handbook of Algebra, 2003.
Caprace, Monod (eds.), New directions in locally compact groups, CUP, 2018
Caprace, Monod (eds.), New directions in locally compact groups, CUP, 2018