- Ser capaz de comprender nociones matemáticas de cierta sofisticación y poder usarlas como herramienta en algunas aplicaciones.

- Integrar los conocimientos previos de cálculo diferencial, álgebra lineal, geometría, topología y programación.
- Enfrentarse a problemas y ejercicios que mejoren la capacidad matemática del alumno.

- Comprender los conceptos matemáticos introducidos en la teoría.
- Resolver problemas relativos a los contenidos teóricos.
- Programar algunos algoritmos relativos a los conceptos matemáticos introducidos en el curso.

En las mismas se desarrollará la materia del curso. Supondrán el 50% del total.

Se resolverán problemas sobre los contenidos teóricos e incluirán clases de laboratorio. Supondrán el 50% restante.

Se utilizarán los laboratorios de la facultad, empleando entornos de programación basados en software libre. Principalmente se utilizará Python y los módulos adecuados para cada problema (sklearn, numpy, scipy, matplotlib, sympy, tensorflow, keras, ffmpeg, etc)

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Este curso introduce varios temas de carácter geométrico, con un énfasis computacional basado en un conocimiento de los fundamentos teóricos.

Álgebra lineal, cálculo diferencial, topología elemental, geometría diferencial y programación en Python.

Bloque I.  Geometría de la información

Tema 1.- Medidas de información.

1.1.- Volumen de información, densidad y envolvente convexa.

1.2.- Complejidad: Sistemas dinámicos, fractalidad, entropía y diversidad

Tema 2.- Medidas de similitud y aprendizaje.

2.1.- Triangulación de conjuntos: intersección, separación y clasificación.

2.2.- Diagramas de Voronói: recomendación, atribución y predicción.

2.2.- Analogía y clasificación por K-medias.

2.3.- Reducción de dimensión

2.3.1.- Descomposición en valores singulares (SVD),

2.3.2.- Análisis de Componentes Principales (PCA) y Función Ortogonal Empírica (EOF).

2.4.- Máquinas de aprendizaje.

2.4.1.- Máquinas de vectores de soporte (SVM).

2.4.2.- Redes neuronales artificiales (ANN).

 

Bloque II. Computación en geometría diferencial

Tema 3.- Isomorfismos de variedades diferenciales

3.1.- Computación de homeomorfismos. Deformación contínua de topologías.

3.2.- Simplectomorfismos. Evolución del espacio de fases.

Tema 4. Difeomorfismos en variedades Riemannianas y semi-Riemannianas

4.1.- Difeomorfismos isométicos afines. Simetrías, traslaciones y rotaciones.

4.2.- Difeomorfismos no isométricos. Flujo de Ricci.

4.2.1.- Caso homogéneo e isótropo.

4.2.2.- Casos inhomogéneos: isótropos y anisótropos. Morfismos de foliaciones.

La asignatura podrá superarse con evaluación mixta o evaluación global. En la evaluación mixta, las prácticas contarán un 50% de la nota y el examen teórico-práctico contará el 50% restante. La nota del examen deberá ser como mínimo de 5 puntos sobre 10 para poder hacer media con las prácticas. En la evaluación global, el examen teórico-práctico supondrá el 100% de la nota. El examen teórico-práctico será común en ambas modalidades, tan sólo cambiará su peso en la evaluación (50% en mixto, o 100% en global) según favorezca más a cada persona. Aquellas personas que superen una nota mínima de 5 puntos en el examen (en cualquiera de ambas modalidades), podrán mejorar su calificación mediante otras tareas voluntarias ofrecidas a lo largo del curso (hasta 2 puntos adicionales).

Bibliografía básica
- David J., MacKay C. (2003). Information Theory, Inference, and Learning Algorithms. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-64298-1 Link: http://www.inference.org.uk/itprnn/book.pdf
- Boucetta M., Morvan J.M., (2005). Differential Geometry and Topology, Discrete and Computational Geometry. Oxford IOS Press. ISBN 1-58603-507-X. [Especialmente los Capítulos 4-9 y 12-13]

Bibliografía complementaria
- de Berg M., Cheong O., van Kreveld M., Overmars M. (2008) Computational Geometry: Algorithms and Applications. Springer-Verlag, Berlin, Germany, Third Edition. DOI 10.1007/978-3-540-77974-2
- Golan, A. (2018). Foundations of Info-metrics: Modeling, Inference, and Imperfect Information. Oxford University Press.
- Eccles P.: An Introduction to Mathematical Reasoning, Cambridge University Press 1998.
- Edelsbrunner H.: A Short Course in Computational Geometry and Topology, SpringerBriefs in Mathematical Methods 2014.
- McDuff D. and Salamon D.: Introduction to Symplectic Topology, OUP Oxford 2017.
- Munkres J.: Topology, Pearson Modern Classics for Advanced Mathematics Series. Second Edition 2000.

No se tolerará el plagio. Los alumnos que sean descubiertos plagiando cualquiera de las prácticas de laboratorio entregadas suspenderán la convocatoria correspondiente. El que un alumno no sea capaz de justificar suficientemente cómo ha realizado alguna práctica o problema se considerará plagio.